viernes, 12 de septiembre de 2008

Tres Puertas

Nuestros cerebros, sencillamente, no están conectados para hacer muy bien los problemas de probabilidad.

Bruce Schechter



El Libro Guinnes de los Récords mantuvo hasta 1989 una categoría llamada “Persona con mayor Cociente Intelectual” Durante los últimos tres años de existencia oficial de este récord, el título recayó en manos de la misma persona. Con 228 puntos, la escritora canadiense Marilyn vos Savant fue, de 1986 a 1989, la merecedora de este honor. Gracias al Libro Guinnes, Savant alcanzó cierta fama en Norteamérica y la revista Parade le ofreció trabajo como columnista semanal. Comenzó en 1986 y su sección llegó a ser un auténtico fenómeno social en Estados Unidos. Muchos de los libros de Savant son recopilaciones de sus artículos. La columna semanal se llama Ask Marilyn (Pregúntale a Marilyn); en ella Marilyn ejerce de señorita Francis intelectual y responde a cualquier duda que los lectores le pongan delante.

Física, bricolaje, genética, cocina, matemáticas, consejos personales. Lo que sea. A lo largo de los años Marilyn se ha atrevido con todo. Así, no es de extrañar que en algunas ocasiones sus respuestas hayan causado cierta polémica y en otras directamente hayan sido erróneas. Pero hubo una columna que destacó sobre las demás debido a la enorme repercusión que tuvo la respuesta de la señora Savant. Mas de diez mil cartas llegaron a su dirección, todas con el mismo objetivo: decirle que estaba equivocada. Y no todos los remitentes lo hacían de buenas maneras. Marilyn fue ridiculizada por varios profesores de universidad que escribieron artículos mofándose de la respuesta publicada en Parade.


Pregunta y respuesta recibieron el nombre de El Problema Monty Hall



La pregunta

La pregunta del lector estaba basada en un conocido concurso norteamericano llamado Let´s Make a Deal (Hagamos un trato) El programa, presentado siempre por el showman Monty Hall, estuvo en antena desde 1963 hasta 1991, aunque no de forma ininterrumpida. Durante la fase final los concursantes tenían ante ellos tres puertas entre las que debían escoger una. Tras una de las puertas estaba escondido el premio gordo, mientras que las otras dos estaban vacías. La cuestión enviada a Parade partía de una situación que se daba cada semana en el concurso:


Imaginemos que estamos en la fase final de Let´s Make a Deal y tenemos ante nosotros las tres puertas. Monty nos informa de que tras una de ellas se esconde un impresionante Ferrari (o un apartamento en Torrevieja o lo que sea que dieran como premio en ese concurso). Por supuesto, tras las otras dos nos espera el fracaso absoluto. Cuando hemos elegido una de las puertas, da igual cual, Monty se acerca a una de las otras dos y la abre. Dentro no hay nada. Ahora quedan dos puertas cerradas. Monty nos hace una oferta: podemos quedarnos con la puerta que hemos elegido o cambiarla por la otra. ¿Cómo tendríamos más posibilidades de ganar el Ferrari, cambiando la puerta o manteniendo la que escogimos al principio?



La respuesta


Parece una pregunta bastante estúpida. Si solo hay dos puertas, una con premio y otra no, esta claro que da igual la puerta que escojamos. Siempre tendremos un cincuenta por cien de posibilidades de ganar. Pero no fue eso lo que Marilyn vos Savant respondió al lector de Parade. Según la inteligente columnista, si cambiamos la puerta que escogimos al principio por la que nos ofrece Monty Hall tendremos dos tercios de posibilidades de ganar el Ferrari; mientras que si nos quedamos con la primera puerta tan solo tendremos un tercio.


La reacción a la respuesta de Marilyn no se hizo esperar. Como he dicho, recibió miles de cartas de lectores ofendidos por su ignorancia. Mas de mil de esas cartas estaban escritas por doctores, matemáticos en su mayoría, que consideraban indignante el error de Savant y le pedían que rectificase.


Estos son algunos fragmentos de las cartas recibidas:


La jodiste”


Deja que me explique: si se enseña una puerta perdedora, esa información cambia la probabilidad de cualquier elección mantenida, ninguna de las cuales tiene ninguna razón para ser mayor a ½. Como matemático profesional, estoy muy preocupado por la falta de habilidad matemática del público en general. Por favor, ayuda confesando tu error y, en el futuro sé más prudente”


¿Cuántos matemáticos furiosos se necesitan para cambiar tu opinión?”


Si todos esos doctores están equivocados el país se encontraría en graves problemas” afirmaban desde el U.S. Army Research.


Eso es imposible” dijo el gran matemático Paul Erdös al conocer lo que Marilyn había dicho.


Pero Marilyn no se retractaba. Estaba convencida de su respuesta, de hecho no tenía la más mínima duda de que era la correcta y ni se le pasaba por la cabeza rectificar.


La solución

Está claro que o bien el 95% de los estadounidenses, incluyendo a importantes matemáticos, estaban en un error o lo estaba Marilyn. ¿Quién cometió el traspié en esta historia?

Este fue un ejemplo perfecto para ponernos en guardia frente a la falacia de autoridad. Por más expertos que sacaran las uñas y mostrasen sus títulos para refutar a la escritora, lo cierto es que Marilyn tenía razón y todos ellos estaban equivocados. Si cambias de puerta tienes 2/3 de posibilidades de ganar el Ferrari mientras que si conservas la puerta original tus posibilidades son tan sólo de 1/3.



No soy experto en matemáticas así que probablemente la explicación que voy a dar del Problema de Monty Hall no es muy rigurosa pero espero que se entienda bien. Para una solución más seria del problema podéis echar un vistazo aquí.


Bien, ¿dónde está el truco? Lo cierto es que en ningún lado, no hay truco. Basta con cambiar la pregunta que realizó el lector por esta otra: “¿Cómo tengo más probabilidades de ganar el Ferrari, eligiendo una puerta o dos?” No estamos cambiando una puerta por otra, estamos cambiando la posibilidad de que el premio esté en una puerta por la posibilidad de que esté en dos. No importa que Monty abra una de las puertas, eso no cambia nada.


El físico Leonard Mlodinow utiliza un método muy simple para el explicar el problema. Multiplicar las cajas. ¿Y si en lugar de tres cajas hubiera cien? Elegimos una puerta y Monty abre noventa y ocho de las noventa y nueve restantes dejando tan solo una cerrada. ¿Cambiaríamos en ese caso de puerta? Seriamos estúpidos si no lo hiciéramos. Si cambiamos la puerta estamos apostando a que estará entre las noventa y nueve que no elegimos al principio, estén abiertas o cerradas. Con tres puertas es exactamente igual, si cambiamos de puerta estamos apostando a que el premio estaba en una de las dos que no elegimos, aunque Monty haya abierto una de ellas.

Para los que aún no se lo creían y seguían diciendo que Marilyn estaba equivocada existía una solución muy fácil. Una que no engaña nunca. La realidad. Bastó echar un vistazo a las estadísticas del concurso para comprobar que aquellos concursantes que cambiaron de caja ganaron el premio 2/3 de las veces, mientras que los que se quedaron con su primera elección sólo lo hicieron 1/3 de las veces.


Finalmente, y tras no pocas explicaciones, no fue Marilyn la que tuvo que rectificar sino todos los doctores que dijeron que se equivocaba.



ÉPILOGO

A pesar de que en esta ocasión la señora Savant estaba en lo cierto, no ocurrió lo mismo otras veces. Es conocido su error al demostrar la falsedad de la demostración del último teorema de Fermat, realizada por Andrew Wiles, en uno de sus libros. Un buen número de matemáticos la pusieron al tanto de su error, mostrándole como ni siquiera iba por buen camino y, ciertamente, de nuevo con manifestaciones burlescas. Marilyn tampoco estuvo dispuesta a retractarse, quizá debido a su experiencia previa. Sin embargo, en este caso estaba cometiendo un grave error y finalmente tuvo que dar su brazo a torcer y admitir que se había equivocado en un adendo del libro.


En esta página se encuentra un simulador del problema Monty Hall donde se puede jugar al juego de las puertas. En la parte inferior hay una estadística donde se observa el porcentaje de visitantes que han ganado el premio (en el momento en que escribo esto los porcentajes están 75% de aciertos para los que cambiaron de caja y 25% para los que se quedaron la primera)

MLODINOW, LEONARD, El andar del borracho, pp 55-56, 65, 68; 2008

PAULOS, JOHN ALLEN, Un matemático lee el periódico, pp 192-193; 1995

El problema Monty Hall

Marilyn vos Savant





72 comentarios:

Leónidas Kowalski de Arimatea dijo...

Asombroso. Qué razón hay en decir que la probabilidad es antiintuitiva. Me encantan estas cosas.

Anónimo dijo...

Realmente la clave está en entender la pregunta.

Marcos Andion dijo...

El burro de la flauta tenía escasísimas probabilidades de interpretar una melodía; si existe la probabilidad, por mínima que sea, ha de existir el acierto. ¿O es que yo también ando enredado con lo del cálculo de probabilidades?
Creo que si algo puede ser, ha sido, aunque, en caso contrario, no puedo saber si será. Y, si es probable, probablemente sea.
O sea que todo lo posible ocurre y todo lo probable ocurrió o puede ocurrir. ¿O no?

David dijo...

Me ha recordado la película 21 Blackjack donde Kevin Spacey, profesor de cálculo del MIT, plantea la pregunta a sus alumnos. El prota, como no, da con la respuesta.

Genial post, como siempre ;)

PepeMiaja dijo...

Demostración equivocada: los matemáticos y el sentido común tienen razón:
En el ejemplo en que se abren 98 cajas, es casi imposible que la apertura sea aleatoria (si fuese así, casi seguro que se abría la caja con el premio antes de que sólo quedasen dos), luego hay cierta omnisciencia del que abre sólo cajas vacías, y es de ahí de donde sale el aumento de probabilidades de que el premio esté en la caja que quedó sin abrir de las 99 no escogidas.
Pero en la pregunta que se plantea sobre el caso real de las 3 puertas, la primera se abre aleatoriamente, no por decisión de alguien que sepa dónde está el premio, luego el tercio de posibilidades de que estuviese en la abierta no pasa íntegramente a su compañera del par de inicialmente no escogidas (¿por qué iba a hacerlo?), sino a las dos que quedan por igual.
La trampa está más en el planteamiento del problema que en la matemática. Si las estadísticas del programa no dan un 50-50, es que hay otro tipo de factores.

ElHombrePancho dijo...

Pepemiaja: el que abre las puertas vacías sabe cuál es la premiada. Relee el planteamiento.

Anónimo dijo...

ElHombrePancho: Que el que abra las puertas vacías sepa dónde está el premio carece completamente de importancia. Ya había escuchado este problema antes, pero yo sigo convencido de que tienes 50% de posibilidades de acertar.

^DiAmOnD^ dijo...

No es que sea importante, es fundamental que el presentador del programa sepa dónde está el premio para evitar que pueda abrir la caja clave.

Vamos a plantear el juego con probabilidades:

Al principio debemos elegir entre 3 cajas y el premio está solamente en una de ellas. Probabilidad de excoger la que tiene el premio: 1/3.

Después de elegir el presentador nos abre una de las otras dos que no tiene premio (recordemos, sabe dónde está, por eso nos abre una mala).

En este punto es donde está el fallo de la mayoría de la gente: en este paso la probabilidad de que la caja que hemos elegido tenga premio no cambia, sigue siendo 1/3, por lo que la probabilidad de que esté en la que queda es 2/3. Conclusión: nos interesa cambiar.

Espero haberme explicado.

Pedro F. dijo...

¿Alguien ha leído "el curioso incidente del perro a medianoche"?
En él Christopher explica el problema de las tres puertas y cuenta la historia de Savant :-) gran libro.

Jose F. dijo...

Aquí un video donde se cuenta el problema:Probabilidad poco intuitiva (YouTube)

También un enlace a una entrada que escribí hace tiempo Intuición y probabilidad

Saludos,

Darío dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
Fran dijo...

que el presentador sepa o no donde esta el premio es lo de menos, puesto que la eleccion es nuestra.

Tambien da lo mismo si elegimos la que tiene el premio o no, puesto que siempre nos va a ofrecer la oportunidad de cambiar de puerta

Se gun mi punta de vista siempre tenemos un 50% de probabilidades de ganar, o de perder el premio si cambiamos.

Obviamente esto es asi si descartamos cualquier variante del juego como que si el presentador sube la ceja es porque hemos acertado :P

Mal bicho dijo...

Asombroso!
Lo que mas me llama la atención es la cantidad de científicos y matemáticos que estaban equivocados, como hagan los calculos en sus trabajos con la misma precisión, vamos mal!!

aljimmix dijo...

Fijaos en que en TODOS los intentos que se hacen de "demostrar" que la probabilidad no es del 50% se tienen en cuenta datos históricos: sí antes había 3 puertas y entonces .... , si el presentador sabía donde estaba el premio... Uno de los postulados principales de las leyes de probabilidad es que esta NO TIENE MEMORIA. Por tanto, lo unico queimporta son los datos del problema final. Y este es una situación con DOS puertas y un premio, luego la probabilidad es del 50%

Ousland dijo...

Es cierto que es un problema de probabilidad condicionada pero no hace falta saber estadistica para, enfocandolo bien, ver que es muy sencillo:
-la probabilidad de acertar sin cambiar es la probabilidad de acertar a la primera (una entre tres).
-La probabilidad de acertar cambiando de puerta es la probabilidad de fallar a la primera (dos entre tres)
Asi de facil

treito dijo...

Es un problema de probabilidad condicional, bastante estudiado, la explicación formal la tenemos en el teorema de Bayes.

Héctor dijo...

Gran post, si señor!!

Enhorabuena

Lordvader dijo...

No entiendo la razón matemática que hay detrás de esto, mis tiempos de estadística quedan muy lejos. Pero me ha encantado el post.

Ejem_ejem dijo...
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Quimijose (Josefpm) dijo...

Esta mujer se equivoca la probabilidad es del 50% por que eliminamos una caja y solo quedan dos una premiada y otra no.

Hazlo al reves pon dos cajas una premiada y otra no la posibilidad es de 1/2 ¿cierto? si añado otra caja pero se que no tiene premio como nunca la eligire la probabilidad no cambia, sigue siendo 1/2 y lo mismo pero al reves es el problema que plantean.

En cuanto a las estadisticas si te fijas en al pagina que has puesto para probar el juego, cada vez mas se van acercando los porcentajes ya esta al 35%, 65% es una cuestion de cantidad cuanto mas se juega mas se acercaran los porcentajes hasta llegar al 50%.

Dr. Serpiente dijo...

yo lo conocia con una piscina llena de bolas y una tiene premio, eliges una bola, la coges, luego se vacia la piscina y solo keda una bola dentro ¿la cambias? ¡¡¡por supuesto¡¡¡¡

Ramón dijo...

Quimijose (y todos los que no se lo creen)a mi me costó darme cuenta también. El problema no es en absoluto el mismo que si solo hubiera dos puertas desde el principio.

Cuando tu eliges una puerta de tres, tienes 1/3 de posibilidades, ¿no?

Lo que te están proponiendo al cambiar de caja es apostar contra ese tercio. Tu caja tenía 1/3 de posibilidades y lo sigue teniendo después de que Monty abra una caja. Por lo tanto la posibilidad de que esté en una de las otras dos es de 2/3. Puesto que Monty ha abierto la caja vacia, la que queda tiene 2/3 de ser la correcta y la tuya solo 1/3. En ningún momento aparece la posibilidad 1/2

Se que es contraintuitivo y difícil de captar pero suponiendo cien cajas en lugar de tres el problema queda bastante claro pues cambiamos 1/100 por 99/100

Tonyo dijo...

También yo pienso que falta un dato del problema: el presentador, ¿sabe o no dónde está el premio?

Si no sabe dónde está el premio, existe una posibilidad de 1/3 de que abra la caja premiada, por lo cual las otras dos opciones continúan siendo equiprobables, y no hay por qué cambiar tu elección (es más, por razones psicológicas, mejor no cambies tu opción)

Si el presentador (o el programa informático) sabe dónde está el premio y abre una caja vacía, entonces es válida la respuesta de Savant, ya que el azar ha sido "corregido", y deberías cambiar de elección.

Ramón dijo...

Tienes razón Tonyo, ese es un dato fundamental. Pensé que lo había dejado claro pero no es así.

El presentador sí sabe donde está el premi y siempre abre una puerta vacia.

Gracias por destacar ese detalle
;)

Anónimo dijo...

Me encanta tu blog! Lo visito asíduamente.

Por cierto, interesante entrada ^^

Anónimo dijo...

En la pelicula 21 black Jack, que por cierto creo que esta basada en la autentica historia de un grupo de estudiantes del MIT que se dedicaban a contar, se habla de lo mismo, hace referencia a las tres puertas. Es una pelicula recomendable.

Andrés dijo...

No he leído todos los comment - por lo que desconozco si alguien ha contado ya esto- pero el quid del problema, y de que aún haya personas que sean incapaces de comprender el cambio de probabilidad ante tres puertas desconocidas, es que el director de orquesta -el presentador- si sabe donde se encuentra el premio, y tras la primera puerta que abra JAMÁS estará el Ferrari.

Así, sabiendo que tu has elegido una puerta, el presentador omnisciente, abre una puerta tras la que no hay nada. Luego el premio está o en la que tu has elegido o en la que él no ha abierto, pero existe el factor de decisión del presentador -omnisciente- y es la de dejar cerrada la otra puerta no escogida por el jugador, por lo que es en ella en la que recaen las 2/3 partes de probabilidades de acierto.

Un saludo.

jesucristo@hellokitty.com dijo...

Esto está fatalmente enfocado. Obviáis que el presentador del concurso conoce la respuesta y que su comportamiento NO ATIENDE A LA ALEATORIEDAD, sino que se basa en cada situación (si es que el buen señor pretendía defender los intereses del concursejo). Es decir que, al final, con el cambio de variable y haciendo las gráficas que se le pongan en los testículos a quien quiera, tenemos dos puertas: una con premio y otra sin él. "Fifty/Fifty".
Si se pretende analizar desde el punto de vista estadístico, para considerar que tienes 2 puertas de 3 (o 999 de 1000), tienes que considerar la posibilidad de que el presentador abra la puerta ganadora al "estrechar el cerco" del premio.
Lo analizaré desde otra perspectiva, para los hombres de fé. Si te abre la otra y te quedas con la inicial, estás apostando a que está en la abierta o en la que escogistes, frente a la que has desechado en todo momento.
Aunque si nos abstraemos durante años seguro que hallamos la forma de ser omnipresentes, de convertirnos nosotros en la puerta, o de resucitar al señor del concurso ese y que nos dé de mamporros por cavilar tanto en vez de elegir una maldita puerta y que el señor vaya a comerse el plato de lentejas que le habrá recalentado (nosecuántas veces ya) la pobre de su esposa.

P.D. La película esa de 21 Blackjack me pareció abominable. Aunque salen tetas...

jesucristo@hellokitty.com dijo...

Joder, el señor que ha comentado antes que yo lo ha expresado mejor y con menos palabras (y sin comentarios sarcástico-jocosos). Qué gran crítica a mi persona. Y todo muy involuntario, o surrealista por parte del destino, quién sabe.

Alb dijo...

Todo el que conoce esta historia por primera vez, piensa que la respuesta es el 50%.

Despues de mucho analizarlo y pensarlo, uno se da cuenta de que estaba equivocado.
Hay esta la verdadera gracia de esta historia. En que algo que ves simpel y evidente, derrepente deja de serlo y se vuelve mucho mas complejo e interesante.

Creo que esta historia es sumamente util para apreder a reconocer las equivocaciones.

A todos los que todavia piensa que daria igual cambiar o no de puerta, les aconsejo que sigan reflexionado sobre el asunto.
Tendra una grata sorpresa cuando se den cuenta de que estaban equivocados.

Anónimo dijo...

Soy matemático. 50%. Sin dudas. Como no has perdido es como si no hubieras elegido

Anónimo dijo...

La clave de todo está en que el presentador sabe dónde está el coche. Si en vez de 100, ponemos 1.000.000 quedará más claro. Nos dicen que escojamos una puerta entre un millón. Después de escogerla, el presentador nos abre 999.998 que no tienen premio. A ver, no las abre aleatoramiante, las abre sabiendo que esas no tienen premio. Por lo que sabemos que probablemente (de hecho con una probabilidad de 0,999...) la puerta que no ha abierto es donde está el premio.

alguh dijo...

Este no es un problema en el que cada uno pueda tener una creencia diferente,es un hecho que deberia cambiar de puerta para tener mas probabilidades de acertar,el que crea lo contrario simplemente esta equivocado.Para los matematicos la explicacion esta aqui http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Monty_Hall

Para los profanos como yo solo hay que aumentar el numero de puertas para verlo claramente,si te dan a elegir entre un millon de puertas la probabilidad de que aciertes es muy escasa,en cambio el presentador sabe donde esta el premio y abre todas las puertas menos la tuya y otra,logicamente es mas probable que este en la que no ha abierto el presentado que en la que tu has elegido entre un millon.

Anónimo dijo...
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Anónimo dijo...

Ya que hablamos de concursos y probabilidades, me biene a la cabeza el pesimo concurso "Alla tu"

¿Cual es la mejor estrategia para optimizar la cantidad ganada?

Esto parece muy sencillo. Lo mejor es quedarse con una caja al azar, y no aceptar ninguna oferta. YA que la banca siempre ofrece una menor cantidad que la que fija la estadistica.

Lo que ocurre es que el objetivo de los jugadores no es optimizar los beneficios, sino obtener cierta cantidad de dinero.

La mayor parte de las personas perferimos sacrificar parte del premio a costa de aumentar las posibilidades de ganarlo.
Se prefiere llevarse 200.000€ seguros, a tener el 50% de posibilidades de ganar 600.000€

Resulta curisos como al ofrecer a los concursantes, se logra reducir la cantidad de dinero que estos se llevan.

Esto nos lleva a otra pregunta.
¿Cual es la mejor estrategia de la banca para minimizar el dinero que se llevan los concursantes?

Aqui tenemos otro hecho curioso. Si se la banca sabe lo que hay en la caja del concursante, nunca ofreceria una cantidad superior a la que contiene su caja. Como los concursantes sabrian este hecho, ninguno aceptaria las ofertas, el jegos seria puro azar con lo que el dinero ganado por los concursantes seria mayor.

Si la banca desconoce lo que contiene la caja del concursante, podria ofrecer mas de lo que contiene la caja. Los jugadores aceptarán ofertas por debajo lo que correspoderia estadisticamente.

Resulta curioso como conocer lo que tiene la caja, perjudica a la banca(Mas bien, lo que perjudica es que el concursante sepa,que la banca lo sabe)

Pero la banca puede saber lo que hay en la caja, pero comportarse como si no lo supiera. De manera que ofreceria mas dinero de lo que hay en la caja en algunas ocasiones,con el objetivo de crear incertidubre y pagar menos en los siguientes pogramas.

Hay otras cuestiones, que dejo al lector:
¿Que pasa si el concursante supiera lo que hay en la caja?

Anónimo dijo...

Si consideramos que las dos opciones son: o escoges UNA sola puerta (la primera opción) o escoges DOS (la segunda opción)queda claro que en el primer caso la probabilidad es 1/3 y en el segundo 2/3.

Green dijo...

Lo hermoso de este problema es que el orgullo de nuestra intuición no tolera sucumbir frente a su aparente simplicidad, convirtiendo algunos casi en fanáticos. Al hacer la experiencia puede verse claramente que la probabilidad de acertar es mayor al cambiar de puerta.

Paco dijo...

Qué casualidad que dos días antes de esta entrada, comentase yo lo mismo en mi bitácora de barrapunto: http://barrapunto.com/~Pacomeco/journal/30638

Olaz dijo...
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Olaz dijo...

igual si en el planteamiento de la pregunta sustituyes la palabra "posibilidad" por oportunidad el asunto se vuelve todavia mas claro ¿Cómo tendríamos más posibilidades ("oportunidades") de ganar el Ferrari, cambiando la puerta o manteniendo la que escogimos al principio?.
Obviamente asi cambiamos tenemos dos oportunidades no una

Anónimo dijo...

Para mi la explicacion esta mucho mas clara en:

http://www.entremaqueros.com/bitacoras/memoria/?p=927

Nylo dijo...

Tienen razón la superdotada y, por supuesto, el autor del post lo cuenta correctamente. Pero para los incrédulos, voy a intentar explicarlo mejor.

Tienes tres puertas. Escoges una. Las probabilidades de acertar en ese momento son de 1/3. ¿Por qué pensáis que eso va a cambiar porque alguien abra una puerta? ¿Acaso automáticamente vuestro "yo" pasado se convierte en un "yo" con más suerte? No tiene sentido, ya que el presentador va a hacer lo mismo independientemente de lo que tú escogieses: abrir una puerta de las que quedaban.

Siempre es más fácil que el premio esté en alguna de las puertas que no elegiste, el problema es que son más. Pero si alguien te ayuda descartando A POSTERIORI una de las que no elegiste, coño, lánzate a por la que quede. Acaban de transferirle toda la probabilidad que había de que el premio estuviese en la puerta abierta. La probabilidad no se la han transferido a la que elegiste porque no había ninguna opción de que el presentador abriese la que tú escogiste. Sólo abrirá una de las que queden.

Siempre habrá 2/3 de que esté en alguna de las que no cogiste. Cuando éstas son 2 y están cerradas, te da igual, porque se tienen que repartir la probabilidad entre ambas y entonces todas tienen 1/3. Pero si son 2 y sabes que 1 NO PUEDE SER porque ya sabes lo que contiene, entonces la otra multiplica sus posibilidades.

Está tirado de comprobar con una simple hoja excel simulando el problema. A ver si tengo un rato y la creo y os la paso.

Pero los que habéis fallado tampoco os lo toméis como algo personal. Al fin y al cabo fallaron varios catedráticos de mateméticas también... (Y yo mismo también hasta que lo comprobé y lo repensé xDDD).

Nylo dijo...

Aquí tenéis un enlace al excel en cuestión:

http://www.elsideron.com/PuertaConcurso.xls

Hecho por mí mismo, sin derechos de autor de ningún tipo, cogedlo y jugad; y no promociono ninguna web porque tengo el sitio sólo para colgar cosas y no es visitable. El excel no contiene macros. Cada realización (F9) da lugar a una muestra de 30 concursos. Las probabilidades de ganar o no ganar cambian porque cambia la distribución de las puertas premiadas, dado que es aleatoria y sólo a veces serán 10-10-10, pero es fácil comprobar que es rarísimo obtener más victorias quedándote con la puerta inicial, y en promedio se obtienen el doble de victorias cambiando.

Ramón dijo...

Gracias por la tabla Nylo y la explicación Nylo.
Al principio el problema choca bastante pero en cuanto te das cuenta de que no estás pensando en él de la forma apropiada descubres el truco.

Para los que aun viendo las estadísticas de la página que puse o usando la tabla de Nylo siguen sin creérselo (incluyendo al que dice ser matemático)solo les puedo decir que cojan tres cartas de una baraja y lo comprueben por si mismos. Incluso se puede esar el problema para ganarle unas cervezas a algún amigo apostando a que acertaremos más veces cambiando de carta.


(He borrado un par de mensajes duplicados)

Nylo dijo...

Gracias a ti, Ramón, me encanta tu blog. Sólo quiero añadir una cosa. Esta "paradoja" no significa que cuando vayas a un concurso y se produzca esta situación REALMENTE tengas más posibilidades de ganar cambiando. Hay una pequeña trampa.

Para que tengas de verdad más posibilidades de ganar cambiando, el presentador tiene que asegurarte que eliminará una de las puertas que queden, independientemente de la que tú elijas en primer lugar. Tiene que garantizártelo antes de que tú realices ninguna elección. De lo contrario, el presentador podría jugar con que conoces la paradoja e inducirte a cambiar (abriendo una de las que quedan) SÓLO en caso de que hayas acertado a la primera con la puerta buena, que no olvidemos, él sabe cuál es. Y entonces te haría fallar.

Saludos.

Felipe dijo...

Es indiferente.

El problema final es elegir entre dos puertas cual tiene premio. No tenemos información sobre en cual está, porque el presentador siempre nos lleva al mismo problema, por lo que nos es indiferente cual elegir.

Es más, ante la duda, y con un número limitado y escaso de posibilidades en el "universo" (jerga estadística), lo mejor es explorar todas las posibilidades. Yo lo he hecho y estos son los resultados:

24 posibilidades (puerta elegida, puerta en la que está el premio, puerta que se abre, cambiamos o no).

El análisis final es 12 resultados com cambio de puerta, 12 sin cambio de puerta. De los resultados con cambio de puerta, se acierta en 6 (50%), y de los resultados siin cambio de puerta se acierta en 6 (50%). Animo a todos a repetir este revisión.

Nylo dijo...

Felipe macho, te estás columpiando.

De verdad que es muy sencillo. LO NORMAL es que elijas mal inicialmente, sólo tienes 1/3 de posibilidades de hacerlo bien. Por tanto, hay 2/3 de posibilidades de que esté en alguna de las otras. Si a continuación te descartan una de ellas, la otra es tiro hecho.

Como decía Ramón, llévalo a un tema de reducción al absurdo. Plantéate que son 100 puertas, eliges 1 y el presentador se carga 98 y te pregunta que si quieres cambiar. De lo que te tienes que dar cuenta es de que las dos puertas no están en igualdad de condiciones. ¿Por qué? Porque el presentador no era libre para abrir la que tú elegiste. Hay dos motivos por los que el presentador no va a abrir una puerta: que la hayas elegido tú, cosa que no puede controlar, y que contenga el premio. Tú la tuya la vas a escoger al azar. Hay sólo un 1% de posibilidades de que hayas cogido precisamente la que tenía el premio. Mientras que ¿qué ocurre con la otra puerta? ¡Hay sólo un 1% de posibilidades de que no tenga premio! Sería cuando tú hubieses acertado a la primera, pues el presentador sería libre de dejar una puerta cualquiera sin abrir. Pero si tú no has acertado a la primera, que es lo normal, entonces si el presentador va a abrir todas las puertas restantes menos una, ¡ésta FORZOSAMENTE debe ser la que contenga el premio! No puede dejar una puerta cualquiera sin abrir, debe dejar sin abrir la que contenga el premio. Tu puerta es una cualquiera, pero la que él deja sin abrir es especial con un 99% de probabilidad.

Con tres puertas pasa lo mismo. El presentador sólo es libre de abrir cualquiera de las dos puertas restantes en el caso de que tú acertaras a la primera, pero eso sólo ocurre 1/3 de las veces. En los restantes 2/3 se verá obligado a dejar sin abrir justo la que contenga el premio, y te la estará sirviendo en bandeja. Por eso ganas 2 de cada 3 veces si cambias.

Descárgate el excel.

natsufan dijo...

Vaya, qué interesante. Si te digo la verdad, al principio me he quedado un poco pillada. Pero después de pensarlo un rato, por fin lo he entendido.

Con razón a la señora le costó trabajo desdecirse de otros errores... Sin fiarse de nadie, me imagino que no se retractó hasta que estuvo segura de su error por sí misma (visto el hecho de que ya no se fiaba de millares de matemáticos). Pero de sabios es rectificar, y luego rectificó.

Me parece bastante interesante esta señora... Me he quedado un poco impresionada con el asunto, porque mi primera reacción fue "¿Pero eso cómo va a ser? ¡Cincuenta por ciento!" Menos mal que hace años que tengo el cerebro enseñado a aceptar ideas nuevas aunque me resulten chocantes, y a meditar sobre ellas, porque la verdad es que en una primera impresión, te choca un poco. Al pensarlo bien, sin embargo, resulta tan lógico que es casi evidente... Es una de estas cosas que el genio dice "era obvio", y resulta que es obvio, pero sólo despues de que un genio lo diga.

Interesante: a la cama hoy sí que no me iré sin saber una cosa más.

Ah, por cierto, en mi penúltima entrada he puesto un vínculo a uno de tus artículos. Espero que no te importe.

Felipe dijo...

Nylo, te repito que lo mejor en estos casos es explorar todas las posibilidades, y que es lo que he hecho (qué puerta se elige en primer lugar, en qué puerta está el premio, qué puerta abre el presentador, si el concursante cambia de puerta o no). Dan 24 posibilidades y el resultado es:

12 casos en los que el concursante cambia la puerta elegida. De esos 12, en 6 gana el premio (50%) y en 6 no (50%).

12 casos en los que el concursante se mantiene en la elección inicial. En 6 gana el premio (50%) y en 6 no (50%).

La pena es que no se pueden colgar archivos, porque si no, adjuntaba el excel en el que hago el análisis (repito, análisis de casos, sin probabilidades asignadas a priori). Si me das una dirección de correo electrónico, te lo envío y lo podrás ver.

Eristoff dijo...

Felipe, eres tonto. No puedes explorar todas las probabilidades desde el momento que te estan diciendo que el presentador no abre una puerta al AZAR sino intencionadamente una de las que no tiene premio.

Por lo cual no existen 24 opciones posibles, cojones.xvhd

No hay mas ciego que el que no quiere ver.

Ludwig dijo...

Fascinante el problema y los posts.
La explicación de Diamond es la que me quedo.
Supongo que si el presentador no conociera la puerta con el premio, la probabilidad sería siempre de un tercio (con tres puertas).
La misma probabilidad que tendría el presentador de que el programa terminara antes de hora, por cierto.

Felipe dijo...

Eristoff, precisamente porque el presentador solo abre una puerta sin premio, son 24 casos. Si no serían 30.

Paso a detallar:

Caso 1: Premio en la puerta 1, el concursante elije la puerta 1, el presentador abre la puerta 2, el concursante no cambia. Resultado: Gana el premio y no cambia (G/N)

Caso 2: Premio en la 1. Elije la 1, se abre la 2, cambia. Resultado: Pierde y cambia (P/C)

Caso 3: Premio en la 1, elije la 1, abre la 3, no cambia. G/N

Caso 4: Premio en la 1, elije la 1, abre la 2, cambia: P/C

Caso 5: Premio en la 1, elije la 2, abre la 3, no cambia: Pierde y no cambia (P/N)

Caso 6: Premio en la 1, elije la 2, se abre la 3, cambia: Gana y cambia (G/C)

Caso 7: Premio en la 1, elije 3, abre 2, no cambia: P/N

Caso 8: Premio en la 1, elije 3, abre 2, cambia: G/C

Los resultados son análogos en los casos 9 a 16 (premio en la puerta 2): 2 G/C, 2 P/C, 2 G/N y 2 G/N y en los casos 17 a 24.

Resultado final: 6 G/C, 6 P/C, 6 G/N y 6 P/N.

O sea, que se pierde en la mitad de los casos en los que se cambia y se pierde en la mitad de los casos en los que mantiene la elección inicial.

Efectivamente, Eristoff, no hay mayor ciego que el que no quiere ver. Pero mi vista goza de buena salud, gracias. Y mi capácidad de análisis también.

Toda la confusión proviene de traspasar la probabilidad de la puerta abierta a la cerrada y no elegida. En un experimento aleatorio, nla elección ni las probabilidades de la misma están influidas por los resultados previos.

Ramón dijo...

Vamos a ver Felipe, déjate de tablas mal hechas y céntrate.

Todo se reduce a:

Eliges la puerta buena al principio. Posibilidad de que esto pase: 1/3 Si cambias pierdes.

Eliges una puerta "chunga" al principio. Posibilidad de que esto pase: 2/3 Si cambias ganas.

Ya esta. No hay más. No le des más vueltas.

Anónimo dijo...

Lo que es la incultura matemática: a mí lo que me parece acojonante es la coincidencia de que la persona con mayor CI del mundo se llame Savant (sabio), si es su nombre real.
(gus)

JoseAngel dijo...

Mi pequeña contribución, para mentes escépticas con la solución que parece más aceptada aquí:
http://garciala.blogia.com/2008/091801-falacias-de-monty-hall-savant.php

Nylo dijo...

Felipe, tu enumeración del total de casos posibles es correcta. El problema es que no te das cuenta de que los "casos posibles" no son "casos equiprobables". Fijémonos únicamente en los 8 que has escrito, es decir, asumamos que el premio está en la puerta 1.

Caso 1: P = (1/3)(elige la 1) * (1/2)(abre la 2) * (1/2)(cambia) = 1/12 y PIERDE

Caso 2: P = (1/3)(elige la 1) * (1/2)(abre la 3) * (1/2)(no cambia) = 1/12 y GANA

Caso 3: P = (1/3)(elige la 1) * (1/2)(abre la 3) * (1/2)(no cambia) = 1/12 y GANA

Caso 4: P = (1/3)(elige la 1) * (1/2)(abre la 2) * (1/2)(cambia) = 1/12 y PIERDE

Caso 5: P = (1/3)(elige la 2) * (1)(abre la 3) * (1/2)(no cambia) = 1/6 y PIERDE

Caso 6: P = (1/3)(elige la 2) * (1)(abre la 3) * (1/2)(cambia) = 1/6 y GANA

Caso 7: P = (1/3)(elige la 3) * (1)(abre la 2) * (1/2)(no cambia) = 1/6 y PIERDE

Caso 8: P = (1/3)(elige la 3) * (1)(abre la 2) * (1/2)(cambia) = 1/6 y GANA

La enumeración y las probabilidades son correctas dado que las probabilidades suman 1, que las probabilidades de que el usuario coja cada puerta también suman 1/3 (al azar), que las probabilidades de que cambie o no cambie suman 1/2 (al azar) y que las probabilidades de que el presentador abra una puerta u otra, CUANDO TIENE ELECCIÓN, son de 1/2 (al azar).

Bien, ahora, ¿cuáles son los casos en los que el usuario CAMBIA? Son los casos 1, 4, 6 y 8. ¿Qué ocurre en esos casos? Que hay 1/6 de posibilidades de que pierda (suma de probabilidades de casos 1 y 4), y 2/6 de que gane (suma de las probabilidades de los casos 6 y 8). Es decir, una vez que tomas la decisión de cambiar, es más probable que ganes que que pierdas. El doble de probable. ¿Por qué? Porque las probabilidades de los casos 5 a 8 son el doble que las probabilidades de los casos 1 a 4, porque el presentador NO TIENE ELECCIÓN para abrir más que una puerta. Y en los casos 5 a 8, que son el doble de probables, GANAS CUANDO CAMBIAS.

Si aún así no lo ves, inténtalo de esta manera. Dado que la puerta concreta que abra el presentador no tiene ninguna relevancia de cara a si ganas o pierdes, abstráete de esa parte. Entonces te quedan 6 casos que sí son equiprobables:

1) Abre la 1, se abre una puerta y cambia > pierde
2) Abre la 1, se abre una puerta y no cambia > gana
3) Abre la 2, se abre una puerta y cambia > gana
4) Abre la 2, se abre una puerta y no cambia > pierde
5) Abre la 3, se abre una puerta y cambia > gana
6) Abre la 3, se abre una puerta y no cambia > pierde

Verás que cuando cambia (1, 3, 5) gana el doble de veces (3, 5) de las que pierde (1). Y cuando no cambia (2, 4, 6) pierde el doble de veces (4, 6) de las que gana (2).

Saludos.

Anónimo dijo...

Gracias Nylo, llevo un día dándole vueltas a porqué Felipe estaba equivocado. Sabía que estava mal, pero no veía donde. Sigo pensando que la explicación más sencilla es que si no cambias escoges una sola puerta (1/3) y si cambias escoges 2, la que abre y la que no (2/3).

Ntx dijo...

Es tan fácil como ha dicho Ramon.

Siguiendo estrategia de cambiar de puerta, solo perderemos en el caso de que hayamos elegido la del premio al principio. Las probabilidades de que esto ocurra son 1/N (N = nº de puertas).

Con 3 puertas : 33% perder 66% ganar

Cuantas mas puertas mas facil es ganar, claro.

Felipe dijo...

Nylo, me parece que en este caso nunca nos vamos a poner de acuerdo. He pretendido llegar a casos atómicos, y por tanto equiprobables. Es la distinta repetición de estos casos lo que llevaría a las probabilidades diferentes.

De todas formas, como digo, desisto de intentar llevarte a mi campo. Por mi parte, creo que veo muy claro que yo tendría la razón, así que no me vas a llevar al tuyo.

Saludos

Nylo dijo...

Te sigues equivocando Felipe. Si asumes que tus casos, por ser atómicos, son equiprobables, me estás diciendo que es el doble de probable que el concursante escoja inicialmente la puerta 1 que la puerta 2 o la 3, dado que tienes 4 casos donde escoge la 1 y 2 casos donde escoge cada una de las otras. Pero el concursante elige por azar. No hay NADA que le impulse a escoger la ganadora inicialmente con una mayor probabilidad.

Supongamos que voy a llevar en el coche a mi hermano y a mis dos hermanas. Supongamos que voy a decidir poner en el puesto del copiloto a un chico o a una chica, con un 50% de probabilidad. Los casos atómicos posibles son 3: mi hermano, mi hermana 1 y mi hermana 2. Pero eso no significa que los tres tengan la misma probabilidad. Mi hermano se va a sentar de copiloto un 50% de las veces, mientras que cada una de mis hermanas se sentará de copiloto sólo un 25% de las veces.

No confundas casos atómicos con casos equiprobables.

Nylo dijo...

Supongamos premio en la puerta 1. El presentador abrirá la puerta 2 SIEMPRE que el concursante elija la 3. Pero el presentador abrirá la puerta 2 sólo la mitad de las veces que el concursante elija la 1, dado que la otra mitad abrirá la 3. No puedes convencerme de que 3&2 tiene la misma probabilidad que 1&2.

Ramón dijo...

Uno de los motivos por los que escribí sobre el problema de las tres puertas era porque, como dice Mlodinow en el libro citado en la bibliografía, no es necesario en absoluto ser experto en matemáticas para entender el problema y su solución. Cualquiera puede descubrir el “misterio”, una vez se lo explican, aplicando el sentido común. Pero parece ser que no es así...

Algunos en los comentarios manifiestan “ponerse del lado de” o “estar de acuerdo con” los matemáticos que se burlaron de Savant. Bien, quizá me he explicado mal en el artículo y éste ha dado la impresión de que el problema de Monty Hall era un problema abierto en el que había varias opiniones. No es así. Los matemáticos equivocados (probablemente porque el problema les pilló por sorpresa o lo entendieron de forma errónea) se apresuraron a rectificar y hubo multitud de disculpas públicas a Savant. No era un problema con dos opiniones contrapuestas. Era un problema en el que unos tenían razón y otros estaban equivocados. Y, hoy en día, es un problema resuelto (ya lo era tres siglos antes de Monty Hall, pero algunos metieron la gamba por no pararse a pensarlo)

Puede que yo haya dado una explicación inadecuada en el artículo pero creo que en los comentarios ha sido explicado ya de mil formas distintas. El problema, hoy, es claro como el agua. No hay un debate en la comunidad matemática ni nada parecido, los que estaban en un error rectificaron y punto.

Seguir negando la evidencia a estas alturas es una necedad. Empeñarse en que la posibilidad es del 50% es tan absurdo como empeñarse en que 2+2=5

Anónimo dijo...

La gente que se pregunta si el presentador sabe dónde está el Ferrari...¿no se da cuenta de que si abriese la puerta tras la que está el Ferrari, el susodicho coche deportivo se vería tras la susodicha puerta, con su cavallino rampante y todo, y el juego acabaría? ¡Obviamente el presentador abre una puerta sin premio!
La mejor explicación es la más simple: la que da Ousland en su comentario. Quien se negue a aceptarla, es que es un cabezota.

Nylo dijo...

También me ha encantado la paradoja de los dos sobres, enlazable en la wiki desde esta otra paradoja. Es algo más sencilla de detectar pero también mola.

Dos amigos tienen cada uno un sobre con dinero. Ninguno sabe cuánto dinero tiene en su sobre ni cuánto dinero tiene el otro ni las probabilidades de que haya una cantidad de dinero en concreto. Deciden apostar: aquel que tenga menos dinero se quedará también con el dinero del otro. Ambos amigos razonan: "si pierdo, perderé lo que hay en mi sobre, pero si gano, gano más de lo que hay en mi sobre. Como las probabilidades de perder o ganar son en principio las mismas, el juego me favorece". El razonamiento es aparentemente igual de correcto para los dos jugadores dado que se encuentran en idénticas circunstancias. ¿Cómo puede ser que los dos piensen que el juego les beneficia? ¿Dónde está el truco?

Anónimo dijo...

Si he entendido bien es muy sencillo. Por lo que he entendido según el simulador. Si tú eliges una puerta, te muestran otra puerta que no tiene el Ferrari. Por lo tanto, ya tienes un descarte de ventaja. Y por eso más posibilidades de ganar. Si tú no cambias tienes un 33,3% de probabilidades de ganar. Pero si cambias, efectivamente, tienes un 76,666 ya que tiens la ventaja del descarte que te añade un 33,3% de posibilidades. Por eso es más facil.
La clave está en la ayuda del descarte que obviamente te añade un tercio de posibilidades

...MazZi*pioJosO... dijo...

muy bueno, pero la pagina q pones para jugar, el porcentaje de los q no cambiaron y ganaron esta subiendo... asiq ojo!...

jaBen dijo...
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jaBen dijo...
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jaBen dijo...
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arena dijo...

Descubrí hace un par de días este blog y me lo estoy leyendo de cabo a rabo :D. Es el primer blog del que (hasta ahora) me despiertan la curiosidad todas las entradas. Enhorabuena!

En esta entrada en concreto, comentándola con mi marido, él tampoco entendía que la probabilidad pasase de 1/3 a 2/3 al cambiar de puerta. Por lo que se lo expliqué con las 100 cajas de la siguiente forma:

-Hay 100 cajas y sólo 1 tiene premio.
-Te dan a escoger una (un 1% de probabilidades).
-Entonces abren 98 cajas vacías de las 99 que no has escogido (el 99%), y te dan a elegir si prefieres la que queda sin abrir o la que habías escogido en un principio.

Esto es lo mismo que decir:
-Qué prefieres, esa caja que has escogido o estas 99 restantes?

Obviamente, es más fácil que el premio esté en esa caja que tiene un 99% de probabilidades que en la primera que escogiste que sólo tenía un 1%.

Carlos Cerdán dijo...

Las entradas me sirven como tema de conversación con mi hijo de 13 años. Le encantan los artículos.

En este caso, la explicación más sencilla es la de ^DiAmOnD^... y con ella le explicaré este aparente quebradero de cabeza.

Gracias Ramon. Gracias ^DiAmOnD^.

Sete dijo...

El fallo de tu análisis es que los 24 casos posibles no son equiprobables.